Une entreprise automobile se préoccupe du nombre de clients renouvelant leur voiture en achetant un modèle d’un concurrent.
Une enquête auprès de 1 000 clients fait apparaître un pourcentage national égal à 35%.
1) La proportion F est approximativement distribuée suivant la loi normale de moyenne p = 0.35 et de variance s2 = p ( 1 – p ) / n = 0.35 x 0.65 / 1000 = 0.0002275. L’écart-type est donc égal à s = 0.015 (Précision pour les puristes : pour n = 1000, il y a convergence de la loi de Student vers la loi normale). .
Pour un niveau de confiance égal à 0.99, l’intervalle de confiance de la moyenne d’une loi normale est de la forme [ m – 2.58 s, m + 2.58 s ]. On en déduit que la proportion F est vraisemblablement comprise entre [0.311, 0.389].
2) On cherche ici l’intervalle de confiance de la forme ] - ¥, pa [ ?. La valeur pa est définie par :
P{ F < pa } = 0.99
On en déduit :
P{ (F – p ) / s < ( pa – p ) / s} = 0.99
On en déduit :
|
( pa – p ) / s |
=
2.33 |
|
pa |
= 2.33 x s + p |
|
pa |
= 2.33 x 0.015 + 0.35 |
|
pa = 0.3845= 38% |
3) Ce pourcentage, chez certains concessionnaires de la marque, atteint 40%. Cela signifie-t-il que leurs performances commerciales sont insuffisantes ?
Il est bien difficile d’affirmer qu’un pourcentage de 40% montre une insuffisance des résultats. Le pourcentage p = 35% est en effet la moyenne des pourcentages calculés chez les concessionnaires pondérée par leur nombre de clients. Il faudrait connaître la répartition de ces pourcentages dans l’ensemble des concessionnaires pour pouvoir les classer suivant leurs performances.